Limit Function

Limit Function

Determine The value of limit f(x) for x approuch to c
Menentukan Nilai limit f(x) untuk x mendekati c

1. Subtitute c f (x) so the value is f (c)
Subtitusikan c pada f (x) sehingga nilainya adalah f (c)
2. apabila didapat bentuk tak tentu , maka ubahlah bentuknya sehingga diperoleh bentuk tentu. Yaitu dengan mengalikan dengan bentuk sekawannya, menfaktorkan, membagi dengan variabel berpangkat tertinggi (pada limit ), merubah nama (pada limit fungsi trigonometri), dll.
Teorema-teorema limit:
1. Jika c dan k adalah kontanta maka
2. Jika c dan k adalah kontanta dan f adalah suatu fungsi x, maka
3. Jika c adalah konstanta dan f adalah suatu fungsi x, maka .
4. Jika c adalah konstanta dan f dan g adalah fungsi-fungsi dari x, maka .
5. Jika c adalah konstanta dan f dan g adalah fungsi-fungsi dari x, maka .
6. Jika c adalah konstanta dan f dan g adalah fungsi-fungsi dari x, maka
7. Jika c adalah konstanta dan f fungsi dari x, maka .

Limit Fungsi Aljabar Berbentuk
Jika diketahui .
1. Untuk fungsi rasional

maka nilai limitnya adalah
· Jika m = n, maka .
Bukti:

apabila di subtitusikan langsung maka akan diperoleh bentuk tak tentu , sehingga harus diubah sedemikian hingga apabila disubtitusikan menjadi bentuk tentu, dan diketahui bahwa:
dengan n adalah sembarang bilangan rasional. Yaitu dengan cara membaginya dengan x berpangkat tertinggi.

· Jika dan , maka

apabila di subtitusikan langsung maka akan diperoleh bentuk tak tentu , sehingga harus diubah sedemikian hingga apabila disubtitusikan mejadi bentuk tentu, dan diketahui bahwa
, dengan n adalah sembarang bilangan rasional. Yaitu dengan cara membaginya dengan x berpangkat tertinggi. Dalam hal ini pangkat tertingginya adalah n, karena


· Jika , maka . Identik dengan bukti sebelumnya hanya saja karena maka misal s > 0 dengan , maka nilai limitnya dapat ditulis sebagai
.
· Jika , maka . Untuk bukti yang ini ditinggalkan sebagai latihan.

Apabila anda telah mengetahui hal ini maka anda dapat memanfaatkannya dalam menghadapi ujian yaitu dengan mengidentifikasi pangkat tertinggi dari variabel pada pembilang dan penyebutnya.

2. Untuk .

· Jika , maka .
Bukti:

Karena maka
, sehingga variabel berpangkat tertingginya adalah , sehingga diperoleh:

· Jika , maka .

Apabila anda telah mengetahui hal ini maka anda dapat memanfaatkannya dalam menghadapi ujian yaitu dengan memperhatikan koefisien variabel –variabel berpangkat tertinggi.

Limit Fungsi Trigonometri
A. dan
Bukti:
Perhatikan gambar berikut




Misalkan α adalah sudut lancip pada juring lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Titik , B (1, 0) dan . Dari gambar tersebut diperoleh:
i) Luas segitiga OBP =
ii) Luas juring OBP =
iii) Luas segitiga OBQ =

Padahal 0 <>

Masing-masing ruas kalikan dengan , sehingga diperoleh:

untuk , maka dan

Jadi

Dan

untuk , maka dan .

Jadi .

B. dan

Bukti:

Dan

Apabila menemui bentuk , maka subtitusikan langsung, apabila menghasilkan bentuk tak tentu, maka ubahlah dalam sin.

Adapun rumus-rumus trigonometri yang dapat digunakan adalah sebagai berikut:

Bentuk-bentuk yang terdapat dalam limit fungsi trigonometri, yang biasanya rumit pengerjaannya:

1.

2. Untuk ubah namanya yaitu menjadi